فاصله و افزونگی متوقف کننده در کدهای هندسی با ماتریس بررسی توازن خلوت

یک کد c با پارامترهای [n,k,d] که n، k و d به ترتیب طول کد، بعد کد و کمترین فاصله همینگ است، دارای ماتریس بررسی توازن h می باشد که هر کدکلمه c در رابطه hct=0 صدق می کند. کدهای با ماتریس بررسی توازن با چگالی کم، کدهای خطی بلوکی هستند که ماتریس بررسی توازن آن ها خلوت می باشد. متناظر با یک ماتریس بررسی توازن h از کد c، یک گراف دوبخشی به نام گراف تنر به صورت زیر تعریف می شود. در یک بخش متناظر با هر ستون h یک راس متغیر، و در بخش دیگر متناظر با هر سطر h یک راس توازن قرار دارد به طوری که j-امین راس متغیر با i-امین راس توازن مجاور است، اگر و تنها اگر0?hij. برای یک کد خطی بلوکی c تعریف شده با یک گراف تنر متناظر با یک ماتریس بررسی توازن h، یک مجموعه متوقف کننده s زیرمجموعه ای از رئوس متغیر در گراف تنر است هر گاه همه همسایه های s حداقل دو بار به s متصل باشند. در ماتریس بررسی توازن h مجموعه متوقف کننده عبارت است از زیرمجموعه ای از ستون های h به طوری که زیرماتریس تشکیل شده با این ستون ها، دارای سطری با وزن یک نباشد. اندازه کوچکترین مجموعه متوقف کننده ناتهی، فاصله متوقف کننده نامیده می شود و آن را با s(h) نشان می دهیم. اهمیت و تقش فاصله متوقف کننده همانند نقش می نیمم فاصله همینگ در کدگشایی با بیشترین درست نمایی می باشد. افزونگی متوقف کننده کد c برابر تعداد سطرهای یک ماتریس بررسی توازن h از کد c است به قسمی که فاصله متوقف کننده h برابر با کمترین فاصله کد بوده و h دارای کمترین تعداد سطر باشد. منظور از کدهای هندسی کدهایی است که بر پایه هندسه متناهی اقلیدسی یا تصویری ساخته می شوند. سطرها و ستون های ماتریس بررسی توازن این کدها متناظر با زیرفضاهای مربوط به این هندسه ها می باشد. کارآیی یک کد خطی تحت کدگشایی تکراری روی یک کانال پاک کننده دودویی از موضوعات مورد توجه محققان نظریه کدگذاری می باشد که فاصله متوقف کننده و افزونگی متوقف کننده از عوامل مهم این کارآیی است. البته یافتن مقدار دقیق افزونگی متوقف کننده کاری مشکل به نظر می آید، ولی کران های به دست آمده برای آن می تواند مفید باشد. کدهای با ماتریس بررسی توازن با چگالی کم که بر اساس نقاط و خطوط هندسه تصویری یا اقلیدسی ساخته می شوند، خانواده مهمی از کدها هستند. در این پایان نامه ابتدا به معرفی و ساخت کدها بر پایه هندسه متناهی می پردازیم. سپس فاصله متوقف کننده و افزونگی متوقف کننده این کدها را مورد بررسی قرار داده و کران بالایی برای افزونگی متوقف کننده آن ها ارائه می دهیم. یافتن این کران با اعمال تغییراتی روی ماتریس بررسی توازن h این کدها به طوری که تعداد سطرها کمتر شده و ماتریس جدید همچنان ماتریس بررسی توازن برای کد باشد و خواص مورد انتظار را دارا باشد، انجام می شود. البته با یک جستجوی کامپیوتری مشاهده شده که شاید بتوان این کران را بهبود داد. با توجه به کران های به دست آمده خواهیم دید که افزونگی متوقف کننده این کدها از طول کد کمتر می باشد و به دلیل پیچیدگی کم و اجرای مطلوب از کدهای مناسب به شمار می آیند. در پایان مقایسه ای بین کران های ارائه شده با کران های قبلی خواهیم داشت.